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『2=1』を証明!?

『2=1』を証明した数学者が現れ、数学界で話題になっている!
このネタは『虚構新聞』でも紹介されているのだけど、実はこれ、有名なジョークなのです。
では、『証明』してみましょう。

**************************************************************************
仮定:aは任意の実数。

証明開始
①      a=b      とする。
               両辺にaをかける。
②     a²=ab
               両辺からb²を引く。
③    a²-b²=ab-b²
               両辺を因数分解する。
④ (a+b)(a-b)=b(a-b)
               両辺を(a-b)で割る。
⑤    a+b=b
               『a=b』なので、aにbを代入する。
⑥    b+b=b
⑦     2b=b
               両辺をbで割る。
⑧     2=1
               証明終了。
**************************************************************************

さて、『2=1』であることが、納得できましたか?(笑)
と、言われて納得してはいけませんよ!
「『2=1』は間違っている!」と、あなたの直感が告げているでしょ?
直感を優先させてください。
理屈は後からどうにでもなります。
(え? 直感が固定観念に由来しないと、なぜ言えるかって? そんなするど過ぎる質問には、余白がせまくて、答えられませんって(笑))
しかし、直感を理論で裏打ちしなければ数学ではありません。
上の証明、どこが間違っているのか?

答えは、④→⑤の式変形です。
①で『a=b』と定義しています。
ですから、『a-b』はゼロです。
④→⑤の式変形では、方程式の両辺をゼロで割ったことになります。
割算で『ゼロで割る』というのは、ルール違反です。
よって、上の証明は誤っている、ということになります。
これで、本当に納得なさった方は、それで良いのですが、『ゼロで割るのはルール違反』ということに納得してない方、いるでしょう?
そんな方は、以下も読んでみてください。

『ゼロで割るのはルール違反』を説明する方法は、何通りもあるのですが、思いつくままにいくつか紹介しましょう。

逆数から
a×b=1 のとき、『aはbの逆数』または『bはaの逆数』といいます。
例えば、a=3(=3/1) ならば、b=1/3 です。
分数の上下が逆転しているので、逆数と言うのでしょうね。
では、ゼロの逆数は何でしょうか?
0=0/1 ですから、その逆数は、1/0です。
さて、この二つの数をかけると、1になるでしょうか?
0 × 1/0 = 1、、、、、、、『0』をかければ、どんな数でも『0』になるはずですから、この計算は間違っています。
『1/0 = 1 ÷ 0』ですから、『ゼロで割る』ことは、無意味、あるいは他の数学のルールと矛盾することになります。
ですから、ゼロで割ってはいけないのです。

『等分』から
一本のヨウカンを2人で等分します。
すると一人分は『1÷2』本。
三人で分ければ『1÷3』本。
ここまでは、具体的なイメージができますね?
次にゼロ人で分けます、、、、、。
この文自体に、意味がありませんね。
よって、ゼロで割ることは、無意味な行為なのです。
『数学的に無意味な行為』を含む証明は無効です。
ですから、『ゼロで割る』を含む証明は無意味です、それをやってはいけないのです。

無限大から
1÷3=1/3
1÷2=0.5
1÷1=1
1÷0.5=2
1÷0.1=10
1÷0.01=100
1÷0.001=1000
……
割る数が、小さくなるほど、商は大きくなりますね。
割る数を最も小さな数、『0』近づけた場合、商はどうなるでしょう?
商は、どんどん大きくなり、無限大に近づきます。
『ゼロで割った』場合は、商は無限大に発散します。
『無限大=∞』は実数ではないので、『ゼロで割った結果を実数として扱うことはルール違反』となります。
上の『証明』では、『a』を実数と仮定しているので、『a+b』も実数です。
ですが、⑤式の両辺はゼロで割った結果ですから、実数では有り得ません。
ここに矛盾が生じているのです。

とりあえず、こんなところです。

虚構新聞の科学記事の中では、『「反机」の生成に成功 英』が私のお気に入り。
おヒマな理系好事家はぜひ。

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No title

緑虫さんこんにちは。
「ヨウカンをゼロ人で分ける」
分かり易かったです。
私は数学苦手なのですが、そういうところからふっと、
入っていけますね。

> 直感を理論で裏打ちしなければ数学ではありません。

本当ですねぇ。ということは・・
「直感を理論で裏打ちしなければ科学ではありません。」
とも言えるのだろうか・・なんてうつろに考えてみましたが・・
緑虫さんはそう思いますか?

これからも、緑虫さんの記事、楽しみにしています。e-68

ゆうこさん、コメントありがとう!

ふらっと入っていただけて嬉しいです^_^

>「直感を理論で裏打ちしなければ科学ではありません。」

そう、なのですが、科学の場合は、実験結果、観測結果がからんできます。
理論とか仮説以前に『事実』がありますからね。
事実をきちんと見極めることも、科学に含まれますかね。
こういう話は、実は一筋縄ではいきません。
悩みますね、私も。

なるほど

管理人さんの説明を自分なりに譬えてみたら納得しました。
バットを持たないでバッターボックスに立つバッター(絶対にヒットは打てない(その前に球審に止められる?))
…。

勉強になったのは、数学は普遍性(もしくは不変性)を持つルールの上に成り立つということを教わったことです。ありがとうございました。

ってことは、社会や科学は数学じゃ処理しきれないってことですかね?(笑)

バッジョさん、コメントありがとうございます。

納得していただけて、ホッとしています。
「社会」や「科学」にとって「数学は道具である」、と考える場合と、「切り離せないその一部分である」と考える場合とで、変わってくると思います。
道具である場合には、都合良く使えば良いです。
道具でない場合も、虚数のように、アイデアで矛盾に見えるものを、今ある体系に組み込むことも、数学はできます。
虚数単位 i=√(-1) のように、
j=1/0 という定義をしてしまって、コトを進めようとする数学もあるようです。
物理学に虚数が必須になったように、jも、一般の科学などに、組み込まれることがない、とは言えないと思います。
プロフィール

緑虫

Author:緑虫
本名は麻生 隆。
理科教室を開設します。

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