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コマ大数学科、詳解(ちょっぴり黄金比)

ビートたけしのTV番組『コマ大数学科』については以前、夕暮菜日記の方で『コマ大数学科、別解』として扱ったことがある。
それを含めれば、今回は第二弾ということになる。

問題:線分CDが与えられている。このとき線分CDを一辺とする正五角形ABCDEの頂点Aを作図しろ。
     五角形問題1
回答者の北野武は、黄金比を知識として知っていたようだし、東大生チームは三角関数を使ったようだけど、その肝心の黄金比の求め方は、省略されていた。
その部分を、以下に説明。

解答
三角形ABCの特殊性に注目。
この二等辺三角形は、頂角=36°、底角=72°です。
頂角:底角=1:2 という、ちょっと変わった二等辺三角形なのです。
そこで、底角Cの二等分線を引きます。
     五角形問題2
底辺CD=1、AC=x とします。
すると、頂角:底角=1:2 より、
△ACDと△CDFは相似です。(相似の記号がこのブログでは使えない╲ToT/)
これより、
1:x=x-1:1 (=CD:AC=FD:CD)の式を得られます。
これを解いて、x>0 より、
x=(1+√5)/2
あとは√5、つまりCDの√5倍の長さを作図できれば良いことになります。
そこで、三平方の定理(ピタゴラスの定理)を使います。
     1:2:ルート5
ここから先は、御自分で作図してくださいね。

さて、ここで出てきた、
1:(1+√5)/2
のことを『黄金比』『黄金比率』などと言います。
(1+√5)/2
のことを『黄金数』と言います。
黄金比は絵画の構図の中に現れていたりするそうです。
また、名刺の縦横比も黄金比に近い値です。
フィボナッチ数列の隣り合う2項の比は、黄金比に収束します。
他にも、黄金数は面白い性質をいろいろ持っています。
気になる方は、調べてみてくださいね。

黄金比の近似値=1:1.6180339887…≒5:8

※フィボナッチ数列
1 1 2 3 5 8 13 21 39 …のように、ある項が、その前の2項の和になるような数列。

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Author:緑虫
本名は麻生 隆。
理科教室を開設します。

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